（2018•青岛）已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．

根据题意解答下列问题：

（1）用含t的代数式表示AP；

（2）设四边形CPQB的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式；

（3）当QP⊥BD时，求t的值；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】

解：（1）如图作DH⊥AB于H，则四边形DHBC是矩形，

∴CD=BH=8，DH=BC=6，

∴AH=AB﹣BH=8，

AD=√(DH²+AH² )=10，BD=√(CD²+BC² )=10，

由题意AP=AD﹣DP=10﹣2t．

（2）作PN⊥AB于N．连接PB．在Rt△APN中，PA=10﹣2t，

∴PN=PA•sin∠DAH=3/5（10﹣2t），

AN=PA•cos∠DAH=4/5（10﹣2t），

∴BN=16﹣AN=16﹣4/5（10﹣2t），

S=S△PQB+S△BCP

=1/2•（16﹣2t）•3/5（10﹣2t）+1/2×6×[16﹣4/5（10﹣2t）]

=6/5t²﹣54/5t+72

注：不规则图形的面积，我们可以利用割补法求解，可以根据S△PQB+S△BCP面积的和来表示，也可以利用梯形的面积减去两个小三角形的面积。

（3）当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA=90°，

∵∠QPN+∠PQN=90°，

∴∠QPN=∠DBA，

∴tan∠QPN=QN/PN=3/4，

∴(4/5(10-2t)-2t)/(3/5(10-2t))=3/4，

解得t=35/27，

经检验：t=35/27是分式方程的解，

∴当t=35/27s时，PQ⊥BD．

注：表示出线段长，再根据垂直易得角度互余，进而得到角度相等，可以得到相似，也可以利用三角函数进行求解。

（4）存在．理由如下：

连接BE交DH于K，作KM⊥BD于M．

当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM，

∴KH=KM，BH=BM=8，设KH=KM=x，

在Rt△DKM中，（6﹣x）²=2²+x²，

解得x=8/3，

作EF⊥AB于F，则△AEF≌△QPN，

∴EF=PN=3/5（10﹣2t），AF=QN=4/5（10﹣2t）﹣2t，

∴BF=16﹣[4/5（10﹣2t）﹣2t]，

∵KH∥EF，

∴KH/EF=BH/BF，

∴(8/3)/(3/5(10-2t))=8/(16-[4/5(10-2t)-2t])，

解得：t=25/18，

经检验：t=25/18是分式方程的解，

∴当t=25/18s时，点E在∠ABD的平分线．

注：角平分线可以得到角度相等，进而利用三角函数得到对应边的比例关系，或者相似亦可。

本题的关键在于利用速度、时间与路程的关系，用t表示出各个线段的长度。利用相似或三角函数易得结论。